三次方程式の解の公式    np - 10  

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          x 3 + a x 2 + b x + c = 0   ( 1 )   三 次 方 程 式 の 解 の 公 式  Yahoo より
   

   三次方程式 は (1) 式 の ような 形 になる 。 係 数 が 何 であれ 解 が 求まる 公 式 は 、

    16 世 紀 までに  フェロ 、フォンタナ ( タルタリア ) 、 カルダノ  といった 数 学 者 ら により 発 見 された。



    まず 、 三次方程式 を 簡 単 にするため ( 2 ) 式 のよう 置 き 、変 換 した 三次方程式 ( 3 ) を 作 る。

    この 解 ( y ) が 求まれば 、 ( 2 ) 式 によって 元 の x も 求まる 仕 組 み だ。

    ( 2 ) 式 を ( 1 ) の 元 の 方程式 に 代入して 、機 械 的 に 展 開 する ( 2.2 ) 。

    また 機 械 的 に y の 次 数 によって 整 列 する ( 2.3 ) 。

    さらに 整 理 すると ( 2.4 ) 、 ( 3 ) が 得られる 。 ( 3 ) の 係 数 pq は 元 の 方程式 ( 1 ) の 係 数 a b c から

    具 体 的 な 値 が 分かるので、 これを 使って 解 く。

    結 局 、 ( 2 ) の 変 換 は 、 2次 の 係 数 がうまく ゼロ に なるように 仕 組 まれていたものと 言 え る。



         変 数 変 換      x = y - ( a / 3 )    ( 2 )

           ( y - a / 3 ) 3 + a ( y - a / 3) 2 + b ( y - a / 3 ) + c = 0    

           ( ( y 3 - 3 y 2 ( a / 3 ) + 3 y ( a / 3) 2 - ( a / 3 ) 3 ) +

        a
( y 2 - 2 y ( a / 3) + ( a / 3 ) 3 ) ) + b ( y - a / 3 ) ) + c = 0   ( 2 ・ 2 )





           3 + ( ) y + ( c - ) = 0

           y 3 + 3 p y + 2 q = 0     p =      q =

    更 に  変 数 変 換      y = u + v

           ( u + v ) 3 + 3 p ( u + v ) + 2 q = 0

            ( u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 ) + 3 p ( u + v ) + 2 q =  0 

           ( u 3 + v 3 + 2 q )  +  ( u 3 × v 3 + p 3 )  =  0

           u 3 + v 3 + 2 q = 0     u 3 ×v 3 + p 3 =  0
 
                   z 2 - 2 q z - p 3 = 0

          z 1 =  q + √ ( q 2 + p 3 )     z 2 =  q - √ ( q 2 + p 3 )

                    u 3 = z 1     v 3 = z 2


          u 1  =  ( 3 √ z 1)   

          u 2  =  ( - 1 + i √3 ) / 2)  ( 3 √ z 1 )

          u 3  =  ( - 1 - i √3 ) / 2)  ( 3 √ z 1 )


          v 1  =  ( 3 √ z 2 )   

          v 2  = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 )  ( 3 √ z 2 ) )  

            v 3  = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 )  ( 3 √ z 1 ) ) 


                 y = u + v


          u 1 + v 1    u 1 + v 2     u 1 + v 3     

          u 2 + v 1    u 2 + v 2     u 2 + v 3     

          u 3 + v 1    u 3 + v 2      u 3 + v 3    


          y 1  = u 1 + v 1 =  ( 3 √ z 1)  + ( 3 √ z 2 )

          y 2  = u 2 + v 3 = ( - 1 + i √3 ) / 2)  ( 3 √ z 1 )  + ( ( - 1 + i √3 ) / 2 )  ( 3 √ z 1 ) ) 

          y 3  = u 3 + v 2 = ( - 1 - i √3 ) / 2)  ( 3 √ z 1 )  + ( ( - 1 + i √3 ) / 2 )  ( 3 √ z 2 ) )


                 x = y - a / 3


          x 1  =  
 
          x 2  =  

          x 3  =  







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      X1  = u1 + v1 - a / 3 =ω1× (ξ1)1/3 + ω1× (ξ2)1/3 - a / 3     p = b/3 - a2/9  

    



    = 1× [ - q + √( q2 + p3 ) ] 1/3 + 1×[ - q - √( q2 + p3 ) ] 1/3 - a / 3     q = c/2 + a3/27 -a.b/6
                                               =(27c+2a3-9ab)/54

        =【-(27c+2a3-9ab)+《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉31/21/3

          +【-(27c+2a3-9ab)-《(27c+2a3-9ab)/542+(3b-a2)/93 1/2 1/3 - a/3


   X2 = u2 + v3 - a/3 =ω2×(ξ1)1/33×(ξ2)1/3 - a/3

      =(-1+ i √3)/2 ×【-(27c+2 a3 -9ab)/54+《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉31/21/3

      + (-1-i √3)/2 ×【-(27c+2a3-9ab)-《(27c+2a3-9ab)/542+(3b-a2)/93 1/2 1/3 - a/3   


      X3    省 略










       x 3 + a x 2 + b x + c = 0  の 

        X1  = u1 + v1 - a / 3 =ω1× (ξ1)1/3 + ω1× (ξ2)1/3 - a / 3     

                              p = b/3 - a2/9     q = c/2 + a3/27 -a.b/6

              = 1× [ - q + √( q2 + p3 ) ] 1/3 + 1×[ - q - √( q2 + p3 ) ] 1/3 - a / 3 =(27c+2a3-9ab)/54



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